变分法的由来

变分法（Calculus of Variations）的历史可以追溯到 17 世纪末的一个著名数学挑战。

1696 年的挑战

瑞士数学家约翰·伯努利 (Johann Bernoulli) 向全欧洲的数学家提出了著名的“最速降线问题 (Brachistochrone problem)”：

设在垂直平面内有两点 $A$ 和 $B$（$A$ 高于 $B$，且不在同一铅垂线上）。一个质点只受重力作用，从 $A$ 点沿曲线下滑到 $B$ 点，问沿什么曲线下滑所需的时间最短？

当时，伽利略曾错误地认为是圆弧，而约翰·伯努利期待着从他的同行那里得到解答。牛顿、莱布尼茨、洛必达和约翰的哥哥雅各布·伯努利都解决了这个问题（答案是旋轮线/摆线）。这个问题的解决标志着变分法的诞生——它不再是求函数的极值（如微积分中的 $dy/dx=0$），而是求泛函的极值（即寻找一个函数，使得某个积分量达到极值）。

随后，欧拉和拉格朗日将这些特例推广为一般性的理论，形成了今天的变分法。

变分法的基本原理

泛函 (Functional)

普通微积分处理的是函数 $y=f(x)$，输入一个数 $x$，输出一个数 $y$。

变分法处理的是泛函 $J[y]$，输入一个函数 $y(x)$，输出一个数 $J$。

[泛函]：Functional [算子]：Operator [变换]：Transformation [函数]：Function [映射]：Mapping

函数 (Function) 是一种特殊的映射，要求定义域中的每一个元素都对应值域中的唯一一个元素。在现代数学中，函数和映射常常被视为同义词，可以互换使用。

泛函 (Functional) 是一种特殊的函数，其定义域是一个函数空间（即元素是函数），值域是数域（实数或复数）。

eg:$F[f] = \int_{0}^{1} f(x)\ ; $ $L[y] = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (y’)^2} , dx$(弧长)

算子 (Operator) 是一种特殊的函数或映射，其定义域和值域通常都是函数空间。

变换 (Transformation) 这个词的含义非常广泛，通常指同一个空间内的映射，或者指一种具体的映射过程或操作。 它常常可以与映射和算子互换使用，但更强调“改变”或“转换”的动作本身。

最常见的泛函形式是积分型泛函：

其中：

•   $x$ 是自变量。

•   $y = y(x)$ 是我们要寻找的未知函数。

•   $y’ = \frac{dy}{dx}$ 是 $y$ 的导数。

•   $F(x, y, y’)$ 是已知的函数形式（称为拉格朗日量）。

•   边界条件通常固定为 $y(x_1) = y_1$ 和 $y(x_2) = y_2$。

欧拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange Equation)

为了找到使泛函 $J[y]$ 取得极值（极大值或极小值）的函数 $y(x)$，该函数必须满足一个微分方程。这个方程被称为欧拉-拉格朗日方程：

直观理解：这相当于微积分中求极值的条件 $f’(x)=0$ 在无限维函数空间中的推广。凡是能使作用量（积分）取极值的路径，都必须满足在这个方程。

计算实例

例子一：两点之间直线最短

问题：在平面上，求连接两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 的曲线中，长度最短的那条。

1. 建立泛函

平面上微元长度为 $ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{1 + (y’)^2} , dx$。

总长度 $L$ 为：

$ L[y] = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (y’)^2} , dx $

这里被积函数 $F(x, y, y’) = \sqrt{1 + (y’)^2}$。

2. 应用 E-L 方程

•   $\frac{\partial F}{\partial y} = 0$ （因为 $F$ 中不显含 $y$）

•   $\frac{\partial F}{\partial y’} = \frac{1}{2\sqrt{1 + (y’)^2}} \cdot 2y’ = \frac{y’}{\sqrt{1 + (y’)^2}}$

代入方程 $\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx} (\frac{\partial F}{\partial y’}) = 0$：

$ 0 - \frac{d}{dx} \left( \frac{y’}{\sqrt{1 + (y’)^2}} \right) = 0 $

这意味着括号内的项是常数 $C$：

$ \frac{y’}{\sqrt{1 + (y’)^2}} = C $

这意味着 $y’$ 必须是常数（记为 $a$）。

$ y’ = a \implies y = ax + b $

这正是直线的方程。

例子二：最速降线问题 (Brachistochrone)

问题：质点在重力作用下从 $(0,0)$ 滑到 $(x_2, y_2)$，求时间最短的路径。设向下为 $y$ 轴正方向。

1. 建立泛函

根据能量守恒 $\frac{1}{2}mv^2 = mgy \implies v = \sqrt{2gy}$。

时间 $t = \int \frac{ds}{v} = \int \frac{\sqrt{1+(y’)^2}dx}{\sqrt{2gy}}$。

忽略常数 $\frac{1}{\sqrt{2g}}$，我们要极小化的泛函为：

$ J[y] = \int_{0}^{x_2} \sqrt{\frac{1 + (y’)^2}{y}} , dx $

这里 $F = \sqrt{\frac{1 + (y’)^2}{y}}$。

2. 应用 E-L 方程（贝尔特拉米恒等式）

由于 $F$ 不显含 $x$（即 $\frac{\partial F}{\partial x} = 0$），我们可以使用 E-L 方程的一个简化形式 —— 贝尔特拉米恒等式 (Beltrami Identity)：

$ F - y’ \frac{\partial F}{\partial y’} = C $

代入 $F$：

$ \sqrt{\frac{1 + (y’)^2}{y}} - y’ \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{y(1 + (y’)^2)}} \cdot y’ \right) = C $

$ \sqrt{\frac{1 + (y’)^2}{y}} - \frac{(y’)^2}{\sqrt{y(1 + (y’)^2)}} = C $

通分整理得到（分子变为 $1+(y’)^2 - (y’)^2 = 1$）：

$ \frac{1}{\sqrt{y(1 + (y’)^2)}} = C $

平方整理：

$ y(1 + (y’)^2) = K \quad (\text{令 } K = 1/C^2) $

3. 求解微分方程

令 $y’ = \cot \theta$（三角换元法）：

$ y(1 + \cot^2 \theta) = K \implies y = K \sin^2 \theta = \frac{K}{2}(1 - \cos 2\theta) $

由 $dy/dx = \cot \theta$，得 $dx = dy / \cot \theta = \tan \theta , dy$。

将 $y$ 的表达式微分代入积分可得 $x$ 的参数方程。最终得到旋轮线 (Cycloid) 方程：

例子三：费马原理 (Fermat’s Principle - 光路最短)

原理：光线在两点间传播时，总是沿着光程 (Optical Path Length) 极值的路径传播。

光程 $L = \int n(x, y) , ds$。

其中 $n(x,y)$ 是折射率。

问题：证明在折射率 $n$ 随 $y$ 变化的介质中，光线遵循斯涅尔定律 (Snell’s Law)。

1. 建立泛函

$ J[y] = \int n(y) , ds = \int_{x_1}^{x_2} n(y) \sqrt{1 + (y’)^2} , dx $

这里 $F(y, y’) = n(y) \sqrt{1 + (y’)^2}$。注意 $n$ 是 $y$ 的函数。

2. 应用 E-L 方程

因为 $F$ 不显含 $x$，再次使用贝尔特拉米恒等式：

$ F - y’ \frac{\partial F}{\partial y’} = C $

$ n(y)\sqrt{1+(y’)^2} - y’ \left( n(y) \frac{y’}{\sqrt{1+(y’)^2}} \right) = C $

提取公因式 $\frac{n(y)}{\sqrt{1+(y’)^2}}$ 并整理：

$ \frac{n(y) [1+(y’)^2 - (y’)^2]}{\sqrt{1+(y’)^2}} = C \implies \frac{n(y)}{\sqrt{1+(y’)^2}} = C $

3. 物理诠释

在几何上，导数 $y’ = \tan \phi$（切线斜率），其中 $\phi$ 是切线与 x 轴夹角。

则 $\sqrt{1+(y’)^2} = \sqrt{1+\tan^2 \phi} = \sec \phi = \frac{1}{\cos \phi}$。

代入上式：

$ n(y) \cos \phi = C $

如果我们定义入射角 $i$ 为光线与法线（垂直于 x 轴，即 y 轴方向）的夹角，那么 $\phi = 90^\circ - i$，此时 $\cos\phi = \sin i$。

方程变为：

$ n(y) \sin i = \text{Constant} $

这正是著名的斯涅尔折射定律 ($n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$) 的连续介质形式。