光滑的地面上放着大小两个滑块，左边是墙。大滑块的质量是小滑块的N倍。给大滑块一个向左的初速度，两个滑块之间会发生多次碰撞。假设碰撞没有能量损失，问一共会发生多少次碰撞？

• 能量守恒

由M=Nm

• 碰撞过程满足动量守恒

  设向右为正

  • 第一次碰撞

    $$ mv_1+MV_1=MV_0 $$$$ V_1=-\frac{1}{N}v_1+V_0 $$

    初始$V_0$向左为负，此时$V_1$ 为负，$v_1$为负

  • 第二次碰撞

    小滑块m 撞墙以后，被墙反弹，速度反向变为 $-v_1$

    $$ mv_2+MV_2=m(-v_1)+MV_1 $$

           相当于$V_2=-\frac{1}{N}v_2+V_1$向右平移了$|v_1|$

上述过程可以重复下去，直到  $V\geq v \gt 0$时为止

$\frac{v^2}{NV_0^2}+\frac{V^2}{V_0^2}=1$ 变量代换$x=\frac{v}{\sqrt N |V_0|}$ $y=\frac {V}{|V_0|}$ ===>$x^2+y^2=1$； $ V_1=-\frac{1}{N}v_1+V_0$ ==>$y=-\frac {1}{\sqrt N}x-1$

$\tan \theta = -\frac {1}{\sqrt N} $

滑块的每一次碰撞，都可以看成是从单位圆上切下两段长度为 $l=\theta R$

的圆弧，即每次切下$s=2 l= 2 \times \theta \times R = 2\arctan \frac {1}{\sqrt N} $

整个单位圆的周长为$2 \pi$

直到剩下的圆弧不足$s= 2\arctan \frac {1}{\sqrt N}$时不会再碰撞

故总的碰撞次数为

由上式可以算出，当两个滑块质量相等时，$s= \arctan \frac {1}{\sqrt N}$ 为$\frac {\pi}{4}$，碰撞总次数为 3。而当两个滑块质量悬殊时， $\frac {1}{\sqrt N}$就很小，由$\arctan (x) = x - \frac {x^3} {3}+\frac {x^5} {5}-\frac {x^7} {7}-…$此时就可以直接用 $\frac {1}{\sqrt N}$来近似$\arctan \frac {1}{\sqrt N}$，于是碰撞总次数就约为$\lfloor \sqrt N \pi \rfloor$  。当两个滑块的质量之比 N是 100 的幂时，$\sqrt N$就是 10 的幂，这就难怪碰撞总次数会恰好是$\pi$的前若干位了